群H 为G 的子群，若对任意的a ∈ G,都有aH = Ha,则称H 为G 的一个正规子群，记作H ◁ G。正规子群例子：1.特殊线性群是一般线性群的正规子群。2.交错(2)|N|=4, 则N=K4,由此可见S4的非平凡正规子群只有A4和K4.
7、Sylow子群表明，任意有限群G的素因子阶子群是存在的，Sylow-p子群的正规化子的扩充子群的正规化子是该扩充子群本身，任意正规子群与其任意Sylow-p子群的正规化6阶子群。只有S3，Z6需要6阶元。因为(14)(12)(14)=(24)，显然S3也不是正规子群。4阶子群，只有Z4和K4。Z4显然不是正规子群。K4={(1),(12)(34),(13)(24),(13)(23)}
＞▽＜ 定理S4之间无非平凡子群(矛盾) 因此可得S4 只有K4是真正规子群对称群S4 关于K4 的商群S4 S3同构(证法一)(12) K4 (13)K4 (23)K4 (123)K4 (132)K4 (123)K44次对称群S4的子群个数及其证明使用Lagrange定理及n次对称群的基本概念证明了4次对称群存在且只存在30个子群，并给出了每个子群.其中，除去两个平凡的子群，另有9个2阶循环群；4
σπσ−1(σ(i))=σπ(σ−1σ)(i)=σ(π(i))于是σπσ−1:σ(i)↦σ(π(i))个二阶子群：MatrixForm[#]&/@#&/@xunhuanziqun[DD,2]//Column 任意两个不同的二阶子群可以生成一个新的子群：任意三个不同的二阶子群可以生成一个新的子群：里面包含着S_4,不是真
S4的不变子群为A4 可以这样想：S4里是关于1234的全体奇置换与偶置换，A4是所有偶置换，对任意的g属于G、h属于A4，ghg^（1）一定是偶置换（因为g^（1）的奇偶性与S4 的子群有N1={(1)}, N2 ={(1)(12)}, , N3={(1)(13)}, , N4={(1)(23)} ,, N5={(1)(24)} ,, N6={(1)(14)} ,, N7={(1)(34)} ,, N8={(1)(12) ,(34)}, N9={(1)(13) ,(24)},
